Dudas Con la Paternidad

[SeYA]

Buenas

Hace poco estoy cubriendo una sustitución que en un principio es solo de un mes o puede alargarse mas.
Mis dudas son las siguientes:

-El permiso hay que solicitarlo en el mismo momento que nazca mi hijo, o puedo solicitarlo mas tarde (¿En otro destino con mas tiempo?).
- ¿Que ocurre si cuando estoy de permiso de paternidad se da de alta la titular? (Por lo que tengo entendido, seguiría de permiso de paternidad solamente por la Seguridad Social y cobrando solo un 60 u 70%, y pasaría o tendría que ponerme como activo no disponible).

Alguien me puede confirmar o arrojar mas información.

GRACIAS