En mi humilde opinión, es un problema bastante serio.
La "solución" a día de hoy, viene por dos vías, poco seguras ambas en cualquier caso: o bien "desactualizar" el navegador (por ejemplo, Firefox, desinstalarlo e instalar la versión 46, que creo que es la última que aceptaba los plugins de Java), o instalar la versión Firefox ESR, que contiene compatibilidad con los plugins incluido Java (en Sólo los usuarios registrados pueden ver los Links.
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explican cómo va eso).
Otra opción más "simple", sería intentarlo con un PC antiguo que use navegadores ya obsoletos y puedan abrir Java.
El tema es que no se ha sido previsor: hace bastante tiempo Google Chrome abrió la veda del fin de los plugins NPAPI (entre ellos el plugin de Java en 2015, ya ha llovido), y las páginas web se tenían que haber preparado para empezar a sortear estos sistemas: ni Edge, ni Mozilla Firefox, ni Google Chrome, pueden abrir la máquina virtual de Java a día de hoy, y web desactualizadas ahora mismo están presentando problemas por esto: digo yo que alguna solución tendrán que buscar, porque ahora mismo no se puede realizar la solicitud telemáticamente porque el navegador simplemente no puede abrir Java (hoy he ido a entregar los papeles en mano viendo que era imposible).